量子物理笔记 - 16：最小不确定波包

考虑不确定性关系：
$$
\sigma_A^2\sigma_B^2
=\langle f|f \rangle\langle g| g\rangle
\ge |\langle f|g \rangle|^2
=\Re\left(\langle f|g \rangle\right)^2+\Im\left(\langle f|g \rangle\right)^2
\ge \Im\left(\langle f|g \rangle\right)^2
=\left( \frac{\langle [\hat{A},\hat{B}]\rangle }{2i} \right)^2
$$
当 $g=cf,c\in\mathbb{C}$ 时，Schwarz 不等式取等，即：
$$
\sigma_A^2\sigma_B^2=|\langle f|cf \rangle|^2=|c|^2|\langle f|f\rangle|^2
$$
当 $\Re(\langle f|g \rangle)=0$ 时，第二个不等式取等，即：
$$
\Re(\langle f|g\rangle)=\Re(c\langle f|f\rangle)=\Re(c) \langle f|f\rangle=0 \Rightarrow \Re(c)=0
$$
即 $c$ 是纯虚数，故最小不确定成立的充要条件为：
$$
g=iaf, \quad a \in \mathbb{R}
$$
若对 $x,\hat{p}$ 应用区等条件，则：
$$
\begin{aligned}
& (-i\hbar\nabla-\langle p \rangle)\Psi=ia(x-\langle x \rangle)\Psi \\
\Rightarrow
& -i\hbar \frac{d \Psi}{\Psi}=(ia(x-\langle x \rangle)+\langle p \rangle)dx \\
\Rightarrow
& \ln\Psi=\frac{-\frac{a}{2}(x-\langle x \rangle)^2+i\langle p \rangle x}{\hbar}+C \\
\Rightarrow
& \Psi(x)=Ae^{-a(x-\langle x \rangle)^2/(2\hbar)}e^{i\langle p \rangle x/\hbar}
\end{aligned}
$$
其解为高斯波包。