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量子物理笔记 - 17:能量-时间不确定原理

当测量一个体系变化有多快时,可以求某个可观测量 $Q$ 的期望值对时间的导数:
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}\langle Q(x,p,t) \rangle
&=\frac{d}{dt} \langle \Psi|\hat{Q}\Psi \rangle \\
&=\langle \dot{\Psi}|\hat{Q}\Psi \rangle+\langle\Psi|\dot{\hat{Q}} \Psi \rangle+\langle \Psi|\hat{Q}\dot{\Psi}\rangle, \quad i\hbar \dot{\Psi}=\hat{H}\Psi \\
&=i\hbar^{-1} \langle \hat{H}\Psi|\hat{Q}\Psi \rangle + \langle \dot{\hat{Q}} \rangle-i\hbar^{-1}\langle \Psi|\hat{Q}\hat{H}\Psi \rangle, \quad \hat{H}=\hat{H}^\dagger \\
&=i\hbar^{-1} \langle \Psi|\hat{H}\hat{Q}\Psi \rangle + \langle \dot{\hat{Q}} \rangle-i\hbar^{-1}\langle \Psi|\hat{Q}\hat{H}\Psi \rangle \\
&=\frac{i}{\hbar}\langle [\hat{H}, \hat{Q}] \rangle+\left\langle \frac{\partial}{\partial t}\hat{Q} \right\rangle
\end{aligned}
$$
若算符 $\hat{Q}$ 与时间 $t$ 无关,则算符的期望随时间的变化率由算符与哈密顿量的对易式决定。

若 $\hat{Q}$ 与 $\hat{H}$ 对易,则 $\langle Q \rangle $ 是常量,即 $Q$ 是守恒量。

设可观测量 $Q$ 不显式含时间,由不确定原理,得:
$$
\begin{aligned}
\sigma_H^2\sigma_Q^2
&\ge \left(\frac{1}{2i} \langle [\hat{H},\hat{Q}] \rangle\right)^2 \\
&=\left( \frac{1}{2i}
\frac{\hbar}{i}\left(\frac{d}{dt}\langle Q \rangle-
\underbrace{\left\langle \frac{\partial}{\partial t}\hat{Q} \right\rangle}_{0}
\right) \right)^2 \\
&=\left(\frac{\hbar}{2}\right)^2\left(\frac{d \langle Q \rangle}{dt}\right)^2
\end{aligned}
$$
即:
$$
\sigma_H\sigma_Q \ge \frac{\hbar}{2} \left| \frac{d \langle Q \rangle}{dt} \right|
$$
定义:
$$
\begin{aligned}
& \Delta E=\sigma_H \\
& \Delta t=\frac{\sigma_Q}{|d\langle Q \rangle/dt|}
\end{aligned}
$$
可以得到能量-时间不确定原理:
$$
\Delta E \Delta t \ge \frac{\hbar}{2}
$$
其中 $\Delta t$ 表示 $Q$ 的期望变化单位标准差时所需的时间。

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