（1）第一个性质。
$$
\begin{aligned}
\left[AB,C\right]
&=ABC-CAB \\
&=A(BC-CB)-(CA-AC)B \\
&=A[B,C]-[C,A]B \\
&=A[B,C]+[A,C]B
\end{aligned}
$$
（2）第二个性质。
$$
\begin{aligned}
\left[x^n,\hat{p}\right]\psi
&=-i\hbar x^n\nabla\psi+i\hbar \nabla(x^n\psi) \\
&=i\hbar(-x^n\nabla \psi+nx^{n-1}\psi+x^n\nabla\psi) \\
&=i\hbar nx^{n-1}\psi
\end{aligned}
$$
即：
$$
[x^n,p]=i\hbar nx^{n-1}
$$
（3）第三个性质。
$$
\begin{aligned}
\left[f(x),\hat{p}\right]\psi
&=-i\hbar f\nabla\psi+i\hbar \nabla(f\psi) \\
&=i\hbar(-f\nabla \psi+\psi\nabla f+f\nabla\psi) \\
&=i\hbar \psi \nabla f
\end{aligned}
$$
即：
$$
[f(x),\hat{p}]=i\hbar \nabla f(x)
$$
（4）坐标 $x$ 和能量 $H$ 的不确定性原理。
$$
\begin{aligned}
\left[x,\hat{H}\right]
&=[x,\frac{1}{2m}\hat{p}^2+V] \\
&=\frac{1}{2m}[x,\hat{p}\hat{p}]+[x,V], \quad [x,V]=xV-Vx=0 \\
&=\frac{1}{2m}\left(x\hat{p}^2-\hat{p}^2x\right) \\
&=\frac{1}{2m}\left(x\hat{p}^2-\hat{p}x\hat{p}+\hat{p}x\hat{p}-\hat{p}^2x\right) \\
&=\frac{1}{2m}\left([x,\hat{p}]\hat{p}+\hat{p}[x,\hat{p}]\right), \quad [x,\hat{p}]=i\hbar \\
&=\frac{i\hbar}{m}\hat{p}
\end{aligned}
$$
即：
$$
\sigma_x\sigma_H
\ge \left|\frac{\langle [x,\hat{H}] \rangle}{2i}\right|
=\frac{\hbar}{2m}|\langle p \rangle|
$$
对于定态系综，有：
$$
\sigma_H=\langle p \rangle=0
$$
不确定性原理等价于：
$$
0 \ge 0
$$
（5）两个非对易算符不能拥有共同的完备本征函数系。
若 $f$ 是 $\hat{P},\hat{Q}$ 的共同本征函数，则：
$$
\begin{aligned}
& \hat{P}\hat{Q}f=\hat{P}\langle Q \rangle f=\langle Q \rangle \hat{P}f=\langle Q \rangle \langle P \rangle \\
& \hat{Q}\hat{P}f=\hat{Q}\langle P \rangle f=\langle P \rangle \hat{Q}f=\langle P \rangle \langle Q \rangle
\end{aligned}
$$
即：
$$
[\hat{P},\hat{Q}]f=0
$$
因此只有对易算符才拥有共同的完备本征函数系。
