对于可观测量 $A,B$，由可观测量的方差，可知：
$$
\begin{aligned}
& \sigma_A^2=\langle (\hat{A}-a)\Psi|(\hat{A}-a)\Psi \rangle=\langle f|f \rangle,
\quad &f=(\hat{A}-a)\Psi,a=\langle A \rangle \\
& \sigma_B^2=\langle (\hat{B}-b)\Psi|(\hat{B}-b)\Psi \rangle=\langle g|g \rangle,
\quad &g=(\hat{B}-b)\Psi,b=\langle B \rangle
\end{aligned}
$$
由 Schwarz 不等式，可知：
$$
\sigma_A^2\sigma_B^2=\langle f|f \rangle\langle g| g\rangle \ge |\langle f|g \rangle|^2
$$
对于 $\langle f|g \rangle$，化简得到：
$$
\begin{aligned}
\langle f|g \rangle
&=\langle (\hat{A}-a)\Psi|(\hat{B}-b)\Psi \rangle \\
&=\langle \Psi|(\hat{A}-a)(\hat{B}-b)\Psi \rangle \\
&=\langle \Psi|(\hat{A}\hat{B}-a\hat{B}-b\hat{A}+ab)\Psi \rangle \\
&=\langle \hat{A}\hat{B} \rangle-a\langle \hat{B} \rangle-b\langle \hat{A} \rangle+ab \\
&=\langle \hat{A}\hat{B} \rangle-ab-ba+ab \\
&=\langle \hat{A}\hat{B} \rangle-\langle A \rangle \langle B \rangle
\end{aligned}
$$
同理：
$$
\langle f|g \rangle^*=\langle g|f \rangle=\langle \hat{B}\hat{A}\rangle-\langle A \rangle\langle B \rangle
$$
于是有：
$$
\langle f|g \rangle-\langle g|f \rangle=\langle [\hat{A},\hat{B}] \rangle
$$
对于复数 $z=\langle f|g \rangle$，有：
$$
|z|^2=\Re(z)^2+\Im(z)^2 \ge \Im(z)^2=\left(\frac{z-z^*}{2i}\right)^2
$$
所以：
$$
\sigma_A^2\sigma_B^2
\ge |\langle f|g \rangle|^2
\ge \left( \frac{\langle [\hat{A},\hat{B}]\rangle }{2i} \right)^2
$$
得到普遍的不确定原理：
$$
\sigma_A^2\sigma_B^2 \ge \left(\frac{1}{2i}\langle [\hat{A},\hat{B}] \rangle\right)^2
$$
对于坐标算符 $\hat{x}$ 和动量算符 $\hat{p}$，其对易关系为：
$$
[\hat{x},\hat{p}]=i\hbar
$$
于是有海森堡不确定原理：
$$
\sigma_x\sigma_p \ge \frac{i\hbar}{2i}=\frac{\hbar}{2}
$$
若一堆算符不对易，称其为不相容的可观测量，则：
- 不相容可观测量存在不确定原理；
- 不相容可观测量没有共同的本征函数；
- 不相容可观测量不能有完备的共同本征函数系。
