如果测量一个处于 $\Psi(x,t)$ 态的粒子的可观测量 $Q(x,p)$，那么其结果一定是算符（Hermitation）$\hat{Q}(x,-i\hbar \nabla)$ 的一个本征值。
（1）若 $\hat{Q}$ 的谱是分立的，得到与正交归一本征函数 $f_n(x)$ 相应的本征值 $q_n$ 的几率是：
$$
|c_n|^2,\quad c_n=\langle f_n|\Psi \rangle
$$
（2）若 $\hat{Q}$ 的谱是连续的，得到与正交归一本征函数 $f_z(x)$ 相应的实本征值 $q(z)$ 在 $dz$ 范围内的几率是：
$$
|c(z)|^2dz, \quad c(z)=\langle f_z|\Psi \rangle
$$
因此，对于位置算符 $\hat{x}$，实本征值 $y$ 对应的本征函数 $g_y(x)=\delta(x-y)$，系数 $c(y)$ 为：
$$
c(y)=\langle g_y|\Psi \rangle =\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-y)\Psi(x,t)dx=\Psi(y,t)
$$
即测量结果处于范围 $dy$ 的概率为：
$$
c(y)dy=|c(y)|^2dy=|\Psi(y,t)|^2dy
$$
对于动量算符 $\hat{p}$，本征值 $p$ 对应的本征函数为：
$$
f_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{\frac{ipx}{\hbar}}
$$
系数 $c(p)$ 为：
$$
c(p)=\langle f_p|\Psi \rangle=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{-ipx}{\hbar}}\Psi(x,t)dx
$$
本质上是动量空间的波函数，记作：
$$
\Phi(p,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{-ipx}{\hbar}}\Psi(x,t)dx
$$
其逆变换为坐标空间的波函数，即：
$$
\Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{ipx}{\hbar}}\Phi(p,t)dp
$$
对动量的测量得到结果在 $dp$ 范围的概率是：
$$
|c(p)|^2dp=|\Phi(p,t)|^2dp
$$
更一般的，有：
$$
\langle Q(x,p) \rangle
=\begin{cases}
\langle\hat{Q}(x,-i\hbar \nabla_x) \rangle_{x} \\
\langle \hat{Q}(i\hbar \nabla_p,p) \rangle_{p}
\end{cases}
$$
