FD-稳定性

概述

庞加莱不等式

$$
\begin{cases}
\norm{u-u _ {\Omega}} _ {L^p(\Omega)} \le C\norm{\grad{u}} _ {L^p(\Omega)} \\
u _ {\Omega}=\frac{1}{\abs{\Omega}}\int _ {\Omega}u(y)\dd{y} \\
d=d(\Omega) \\
\begin{cases}
C \le \frac{d}{2}, \quad & (p=1) \\
C = \frac{1}{\pi} \le \frac{d}{\pi}, \quad &(p=2)
\end{cases}
\end{cases}
$$

帕萨瓦尔等式

$$
\norm{f}=\norm{F}
$$
证明：
$$
\begin{aligned}
\int _ {-\infty}^{\infty}f^2(x)\dd{x}
=&\int _ {-\infty}^{\infty}f(x)\dd{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int _ {-\infty}^{\infty}F(k)e^{ikx}\dd{k} \\
=&\int _ {-\infty}^{\infty}F(k)\dd{k} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int _ {-\infty}^{\infty}f(x)e^{ikx}\dd{x} \\
=&\int _ {-\infty}^{\infty}F(k)\dd{k} \qty(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int _ {-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx}\dd{x})^* \\
=&\int _ {-\infty}^{\infty}F(k)\dd{k} F(k) \\
=&\int _ {-\infty}^{\infty}F^2(k)\dd{k}
\end{aligned}
$$

庞加莱不等式

设泛函极值 $R _ E$ 为：
$$
\frac{1}{R _ E}=\max _ {u \in \mathcal{H}}
\frac{\norm{u}^2}{\norm{u _ x}^2}
$$
设：
$$
\begin{cases}
I _ 1(u)=\norm{u}^2 \\
I _ 2(u _ x) = \norm{u _ x}^2
\end{cases}
$$
变分问题为：
$$
\frac{1}{R _ E}
=\max _ {u \in \mathcal{H}}
\underbrace{\frac{I _ 1(u)}{I _ 2(u _ x)}} _ {I(x,u,u _ x}
$$
这是欧拉-拉格朗日方程的极值问题，得到极值的条件为：
$$
\begin{aligned}
& \dv{x}\dv{I}{u _ x}-\dv{I}{u}=0 \\
\Rightarrow
& \dv{x}\qty(-\frac{I _ 1I _ 2’}{I _ 2^2})-\frac{I _ 1’}{I _ 2}=0 \\
\Rightarrow
& -R _ E\dv{x}\frac{I _ 2’}{I _ 2}-\frac{I _ 1’}{I _ 2}=0 \\
\Rightarrow
& -R _ E \frac{I _ 2’}{I _ 2^2}-\frac{I _ 1’}{I _ 2}=0 \\
\end{aligned}
$$
（这里还没算出来，先咕咕咕着）
考虑直接变分：
$$
\begin{aligned}
\eval{\dv{\varepsilon} I(x,u+\varepsilon \eta, u _ x+\varepsilon u _ x)} _ {\varepsilon=0}
&=\delta\qty(\frac{I _ 1}{I _ 2}) \\
&=\frac{\delta I _ 1 I _ 2-I-1\delta I _ 2}{I _ 2^2} \\
&=\frac{1}{I _ 2}\qty(\delta I _ 1-\frac{1}{R _ E}\delta I _ 2)
\end{aligned}
$$
其中 $\delta=\dv{\varepsilon}$，所以：
$$
\begin{aligned}
0=& \delta I _ 1-\frac{1}{R _ E}\delta I _ 2 \\
=&\int _ {0}^{1}\qty(
(u+\varepsilon \eta)^2-\frac{1}{R _ E}(u _ x+\varepsilon \eta _ x)^2
) \dd{x} \\
=&2\int _ {0}^{1}\qty(
u\eta-\frac{1}{R _ E}u _ x\eta _ x
) \dd{x}
=2\int _ {0}^{1}\qty(
\qty(u+\frac{1}{R _ E}u _ {xx})\eta _ x
) \dd{x}
\end{aligned}
$$
所以 $R _ E$ 应满足如下方程：
$$
\begin{aligned}
& \begin{cases}
\dv[2]{u}{x}+R _ E u=0 \\
u(0)=u(1)=0
\end{cases} \\
\Rightarrow
& R _ E=(n\pi)^2, n=\mathbb{N}^* \\
\Rightarrow
& R _ E = \pi^2, 4\pi^2, 9\pi^2,\cdots
\end{aligned}
$$
所以：
$$
\begin{aligned}
& \frac{\norm{u}}{\norm{u _ x}} \le \frac{1}{\pi} \\
\Rightarrow
& \norm{u} \le \frac{1}{\pi}\norm{u _ x}
\end{aligned}
$$

Fourier 稳定性

考虑傅里叶变换：
$$
\begin{aligned}
&F(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int _ {-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ikx}dx \\
&f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int _ {-\infty}^{\infty} F(k)e^{ikx}dk
\end{aligned}
$$
考虑位移算子：
$$
T^ju _ {i}^{(n)}=u _ {i+j}^{(n)}
$$
对于连续函数 $U(x)$，则：
$$
T^jU(x)=U(x+jh)
$$
于是有：
$$
\begin{aligned}
\mathcal{F}{T^jU(x)}(k)
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int _ {-\infty}^{\infty} U(x+jh)e^{-ik(x+jh)}dx \\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int _ {-\infty}^{\infty} U(x)e^{-ikx}dx \\
&=\mathcal{F}{U(x)}(k)
\end{aligned}
$$
于是有：
$$
\begin{aligned}
T^jU(x)
&=U(x+jh) \\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int _ {-\infty}^{\infty} \mathcal{F}{T^jU(x)}(k)e^{ik(x+jh)}dk \\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int _ {-\infty}^{\infty} \mathcal{F}{U(x)}(k)e^{ikjh}e^{ikx}dk
\end{aligned}
$$
不妨设迭代方程：
$$
U(x,t _ {n+1})=\mathcal{L}{U(x,t _ n)}
$$
其中：
$$
\mathcal{L}
=\sum _ {j=-l}^{l} a _ j T^j
$$
于是有：
$$
\sum _ {j=-l}^{l}a _ jT^jU(x,t _ {n})
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int _ {-\infty}^{\infty}\hat{U}(k,t _ n)\sum _ {j=-l}^{l}a _ {j}e^{ikjh}e^{ikx}dk
$$
于是有：
$$
\hat{U}(k,t _ {n+1})=\sum _ {j=-l}^{l}a _ je^{ikjh}\hat{U}(k,t _ n)
$$
即：
$$
G(\tau,k)=\sum _ {j=-l}^{l}a _ je^{ikjh}
$$
其中 $G(\tau,k)$ 为增长因子，并且：
$$
\hat{U}(k,t _ n)=(G(\tau,k))^n\hat{U}(k,t _ 0)
$$

实际上，只要作代入即可：
$$
u _ j^{(n)}=v^{(n)}e^{ikjh}
$$

von Neumann 条件
差分格式稳定的必要条件是，当 $\tau \le \tau _ 0,n\tau \le T$ 时，对于所有的 $k\in\mathbb{R}$，有：
$$
\rho(G(\tau,k)) \le 1+M\tau
$$

对于对称矩阵 $A$，有：
$$
\Vert A \Vert _ 2=\sqrt{\rho(A^TA)}=\sqrt{\rho(A^2)}=\sqrt{\rho(A)^2}=\rho(A)
$$
更一般的，只要 $A$ 是正规的，则：
$$
\Vert A \Vert _ 2=\rho(A)
$$

对流方程

考虑对流方程的处初值问题：
$$
\frac{\partial u}{\partial t}+a\frac{\partial u}{\partial x}=0
$$
其解可以写成：
$$
u(x,t)=g(\xi)=g(x-at)
$$
若采用差分格式：
$$
\frac{u^{(n+1)} _ {i}-u^{(n)} _ {i}}{\tau}+a\frac{u^{(n)} _ {i+1}-u^{(n)} _ {i}}{h}=0
$$
化简成迭代方程：
$$
u^{(n+1)} _ i
=u^{(n)} _ i-\frac{a\tau}{h}(u^{(n)} _ {i+1}-u^{(n)} _ {i})
=(1-\frac{a\tau}{h}+\frac{a\tau}{h}T)u^{(n)} _ i
$$
于是有：
$$
\begin{aligned}
u^{(n)} _ i
=&(1-\frac{a\tau}{h}+\frac{a\tau}{h}T)^n u^{(0)} _ {i} \\
=&\sum _ {k=0}^{n}(1-\frac{a\tau}{h})^{n-k}(\frac{a\tau}{h})^kT^k u _ i^{(0)} \\
=&\sum _ {k=0}^{n}(1-\frac{a\tau}{h})^{n-k}(\frac{a\tau}{h})^k u _ {i+k}^{(0)}
\end{aligned}
$$
也就是说 $u _ i^{(n)}$ 只跟 $g _ {i},g _ {i+1},\cdots,g _ {i+n}$ 有关，这与解的要求：
$$
u(x,t)=g(x-at)
$$
在 $a>0$ 时，有初值不变，因此是不稳定的。

若采用差分格式：
$$
\frac{u^{(n+1)} _ {i}-u^{(n)} _ {i}}{\tau}+a\frac{u^{(n)} _ {i}-u^{(n)} _ {i-1}}{h}=0
$$
化简成迭代方程：
$$
u^{(n+1)} _ i=u^{(n)} _ i-\frac{a\tau}{h}(u^{(n)} _ i-u^{(n)} _ {i-1})=(1-\frac{a\tau}{h}+\frac{a\tau}{h}T^{-1})u^{(n)} _ i
$$
代换得：
$$
\begin{aligned}
& v^{(n+1)}e^{ikjh}=((1-\frac{a\tau}{h})e^{ikjh}+\frac{a\tau}{h}e^{ik(j-1)h})v^{(n)} \\
\Rightarrow
& v^{(n+1)}=((1-\frac{a\tau}{h})+\frac{a\tau}{h}e^{-ikh})v^{(n)} \\
\Rightarrow
& G(\tau,h)=1-\frac{a\tau}{h}+\frac{a\tau}{h}e^{-ikh} \\
\Rightarrow
& |G| \le |1-a\lambda|+|a\lambda| \le 1, a\lambda \le 1
\end{aligned}
$$

Energy 稳定性

Fourier稳定性分析的局限性

傅立叶稳定性分析要求PDE定义在无界区域（或者可延拓的半无界区域），这种条件实际上是苛刻的，一些在有解区域所展现出来的性质（如驻波）在无界区域往往难以展现。
另一方面，傅立叶稳定性分析中，我们主要关心的是 $L^2$ 模稳定性，即我们期待于寻找一个Hilbert空间下的范数：
$$
\norm{u}^{2}=\int _ {\Omega} u^2(x) \dd{x}
$$
需要注意的是，能量稳定性分析是基于能量泛函的，它反映出PDE在解析形式上存在的不稳定的潜在可能，这与差分格式可能不具有相关性。
换言之，能量稳定性分析会给出具有边界限制的PDE的初值稳定性关系——无论采用何样的差分格式，必定会引发对应的数值耗散问题。

有界齐次扩散方程

考虑下面PDE方程的定解问题：
$$
\begin{cases}
u _ {t}=u _ {xx}, x\in(0,1),t>0 \\
\eval{u} _ {x=0}=\eval{u} _ {x=1}=0 \\
\eval{u} _ {t=0}=u _ 0(x)
\end{cases}
$$
考虑到方程左侧为 $\pdv{u}{t}$，为了凑出能量泛函 $\norm{u}^{2}$ 的形式（也就是寻找 $u^2$），我们选择在方程左右两侧同时乘以 $u$，并在域 $\Omega$ 上积分，并使用分布积分的技巧进行化简：
$$
\begin{aligned}
&\int _ {0}^{1}u _ {t}u\dd{x}
=\int _ {0}^{1} u _ {xx}u\dd{x} \\
\Rightarrow
& \int _ {0}^{1}\frac{1}{2}\pdv{u^2}{t}\dd{x}
=\qty(
\eval{\qty(uu _ {x})} _ {0}^{1}
-\int _ {0}^{1}u _ {x}^2\dd{x}
) \\
\Rightarrow
& \dv{E}{t}+\norm{u _ {x}}^2=0
\end{aligned}
$$
其中系统的能量为：
$$
E=\frac{1}{2}\norm{u}^2=\frac{1}{2}\int _ {\Omega}u^2(x)\dd{x}
$$
所以：
$$
\dv{E}{t}+\norm{u _ x}^2=0
$$
由庞加莱不等式：
$$
\norm{u}^2 \le C\norm{\grad{u}}^2
$$
可得：
$$
\norm{u _ x}^2 \ge \pi^2\norm{u}^2
$$
所以：
$$
\begin{aligned}
& 0=\dv{E}{t}+\norm{u _ x}^2
\ge \dv{E}{t}+\pi^2\norm{u}^2
=2\dv{t}\qty(e^{2\pi^2 t}\norm{u}^2) \\
\Rightarrow
& \norm{u(t)}^2 \le e^{-2\pi^2}\norm{u _ 0}^2
\end{aligned}
$$
可以看到 $\norm{u(t)} \to 0$，因此该PDE是 $L^2$ 模稳定的。

有界有源齐次扩散方程

考虑将有界齐次扩散方程添加一个线性源项：
$$
\begin{cases}
u _ t=u _ {xx}+au, x\in (0,1),t>0 \\
\eval{u} _ {x=0}=\eval{u} _ {x=1}=0 \\
\eval{u} _ {t=0}=u _ 0(x)
\end{cases}
$$
类似的，可以定义系统能量 $E$ 为：
$$
E(t)=\frac{1}{2}\norm{u(t)}^2=\frac{1}{2}\int _ {\Omega}u^2(x,t)\dd{x}
$$
并且：
$$
\begin{aligned}
\dv{E}{t}
&=-\norm{u _ x}^2+a\norm{u}^2 \\
&=-a\norm{u _ x}^2\qty(\frac{1}{a}-\frac{\norm{u}^2}{\norm{u _ x}^2}) \\
&\le -a\norm{u _ x}^2\qty(\frac{1}{a}-\max _ {u \in \mathcal{H}}\frac{\norm{u}^2}{\norm{u _ x}^2})
\end{aligned}
$$
其中 $\mathcal{H}$ 是如下函数空间：
$$
\mathcal{H}=\qty{u \in C^2(0,1) | \eval{u} _ {x=0}=\eval{u} _ {x=1}=0}
$$

设泛函极值 $R _ E$ 为：
$$
\frac{1}{R _ E}=\max _ {u \in \mathcal{H}}
\frac{\norm{u}^2}{\norm{u _ x}^2}
$$
则：
$$
\dv{E}{t} \le -a\norm{u _ x}^2\qty(\frac{1}{a}-\frac{1}{R _ E})
$$
由庞加莱不等式 $\norm{u _ x}^2 \ge \pi^2\norm{u}^2$ 可知，$E(t) \to 0$ 的充分条件为：
$$
\frac{1}{a}-\frac{1}{R _ E} \triangleq c > 0
$$
并且：
$$
E(t) \le e^{-2\pi^2 act} E(0)
$$
所以PDE方程的初值稳定性问题为：
$$
a < R _ E \Rightarrow a < \qty(R _ E) _ {\min}=\pi^2
$$