三角换元

基本公式

$$
1=\sin^2 \theta+\cos^2 \theta
$$

和角公式

$$
\sin(\alpha \pm \beta)=\sin \alpha\cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta
$$

$$
\cos(\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta
$$

降幂公式

$$
\sin^2 \theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2}
$$

$$
\cos^2 \theta=\frac{1+\cos2 \theta}{2}
$$

$n$ 倍角公式

$$
\left(e^{i \theta}\right)^n=e^{i(n\theta)} \Rightarrow (\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta
$$

#（$n$ 倍角公式应用）半倍角公式：

$$
\begin{aligned}
& (\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta \\
\Rightarrow & (\cos a+i\cos a)^{\frac{1}{2}}=\cos \frac{a}{2}+i\sin\frac{a}{2} \\
\Rightarrow & \cos a+i \cos a=\cos^2\frac{a}{2}-\sin^2\frac{a}{2}+2i\cos \frac{a}{2}\sin \frac{a}{2} \\
\Rightarrow & \cos a=\cos^2\frac{a}{2}-\sin^2 \frac{a}{2} = 1-2 \sin^2\frac{a}{2}=2\cos^2\frac{a}{2}-1 \\
\Rightarrow &
\begin{cases}
\sin\frac{a}{2}=\pm \sqrt{1-\frac{\cos a}{2}} \\
\cos\frac{a}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos a}{2}} \\
\end{cases}
\end{aligned}
$$

微分公式

$$
d \sin \theta=\cos \theta
$$

$$
d \cos \theta=-\sin \theta
$$

积分公式

$$
\int \sin x dx=-\cos x + C
$$

$$
\int \cos xdx=\sin x+C
$$

和差化积

$$
\sin \alpha \pm \sin \beta=2\sin \frac{\alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{\alpha \mp \beta}{2}
$$

$$
\cos \alpha + \cos \beta=2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2}\cos \frac{\alpha - \beta}{2}
$$

$$
\cos \alpha - \cos \beta=-2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2}\sin \frac{\alpha - \beta}{2}
$$

$$
\tan \alpha \pm \tan \beta=\frac{\sin(\alpha \pm \beta)}{\cos \alpha\cos \beta}
$$

$$
\cot \alpha \pm \cot \beta=\pm \frac{\sin(\alpha \pm \beta)}{\sin \alpha\sin \beta}
$$