考虑有限势能阱：
$$
V(x)=
\begin{cases}
-V_0, \quad & -a<x<a \\
0, \quad & |x|>a
\end{cases}
$$
其中 $V_0>0$，这个势允许有束缚态（$E<0$）以及散射态（$E>0$）。
束缚态
设 $E<0$，则在 $|x|>a$ 区域的定态薛定谔方程为：
$$
\begin{aligned}
& -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi=E\psi \\
\Rightarrow
& \nabla^2\psi=\kappa^2\psi, \quad \kappa=\frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar} \\
\Rightarrow
& \psi(x)=
\begin{cases}
Ae^{-\kappa x}+Be^{\kappa x}, \quad &x < -a \\
Ce^{-\kappa x}+De^{\kappa x}, \quad &x > a
\end{cases} \\
\Rightarrow
& \psi(x)=
\begin{cases}
Be^{\kappa x}, \quad &x < -a \\
Ce^{-\kappa x}, \quad &x > a
\end{cases}
\end{aligned}
$$
在 $|x|<a$ 区域的定态薛定谔方程为：
$$
\begin{aligned}
& -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi-V_0\psi=E\psi, \quad E > V_{\min}=-V_0 \\
\Rightarrow
& \nabla^2\psi=-l^2\psi, \quad l=\frac{\sqrt{2m(E+V_0)}}{\hbar} \\
\Rightarrow
& \psi(x)=F\sin(lx)+G\cos(lx) \\
\end{aligned}
$$
连续性边界条件为：
$$
\begin{aligned}
& \psi(\mp a^{-})=\psi(\mp a^{+}) \\
& \nabla \psi(\mp a^{-})=\nabla \psi(\mp a^{+})
\end{aligned}
$$
由于 $V(x)$ 是偶函数，因此 $\psi(x)$ 总可以取为偶函数或奇函数，于是只需要考虑一侧的边界条件（如 $+a$ 处）。
当 $\psi(x)$ 为偶函数时，有：
$$
\psi(x)=
\begin{cases}
Ce^{-\kappa x}, \quad &x>a \\
G\cos(lx), \quad &0<x<a \\
\psi(-x), \quad &x<0
\end{cases}
$$
由连续性边界条件得：
$$
\begin{aligned}
& \begin{cases}
Ce^{-\kappa a}=G\cos(la) \\
-\kappa Ce^{-\kappa a}=-lG\sin(la)
\end{cases} \\
\Rightarrow
& \kappa=l\tan(la), \quad z=la,z_0=\frac{a\sqrt{2mV_0}}{\hbar} \\
\Rightarrow
& \kappa^2+l^2=\frac{2mV_0}{\hbar^2} \\
\Rightarrow
& \kappa a=\sqrt{z_0^2-z^2} \\
\Rightarrow
& \tan z=\sqrt{\frac{z_0^2}{z^2}-1}
\end{aligned}
$$
不同的 $z_0$ 对应不同大小的势阱，如：
（1）宽深势阱：$z_0$ 非常大，交点在略小于 $z_n=\frac{n\pi}{2}$ 处（$n$ 为奇数），有：
$$
E_n+V_0 \cong \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2m(2a)^2}
$$
（2）浅窄势阱：当 $z_0$ 减小时，束缚态减少，直到 $z_0<\frac{\pi}{2}$ 时，束缚态消失。
散射态
当 $E>0$ 时，$\psi$ 处于散射态，即：
$$
\psi(x)=
\begin{cases}
Ae^{ikx}+Be^{-ikx}, \quad &x<-a,\quad & k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \\
C\sin(lx)+D\sin(lx), \quad &|x|<a,\quad &l=\frac{\sqrt{2m(E+V_0)}}{\hbar} \\
Fe^{ikx}, \quad & x>a, \quad &\text{假设此区域无入射波}
\end{cases}
$$
其中：
- $A$ 是入射波振幅；
- $B$ 是反射波振幅；
- $F$ 是透射波振幅。
对定态波函数 $\psi$ 应用连续性边界条件，有：
$$
\begin{aligned}
& \begin{cases}
Ae^{-ika}+Be^{ika}=-C\sin(la)+D\cos(la), \quad &\psi(-a^{-})=\psi(-a^{+}) \\
ik(Ae^{-ika}-Be^{ika})=l(C\cos(la)+D\sin(la)), \quad &\nabla\psi(-a^{-})=\nabla\psi(-a^{+})\\
C\sin(la)+D\cos(la)=Fe^{ika}, \quad&\psi(a^{-})=\psi(a^{+}) \\
l(C\cos(la)-D\sin(la))=ikFe^{ika}, \quad &\nabla\psi(a^{-})=\nabla\psi(a^{+})
\end{cases} \\
\Rightarrow
& \begin{cases}
B=i\frac{\sin(2la)}{2kl}(l^2-k^2)F \\
F=\frac{e^{-2ika}A}{\cos(2la)-i\frac{k^2-l^2}{2kl}\sin(2la)}
\end{cases} \\
\Rightarrow
& T^{-1}=(|F|^2/|A|^2)^{-1}=1+\frac{V_0^2}{4E(E+V_0)}\sin^2\left(\frac{2a}{\hbar}\sqrt{2m(E+V_0)}\right)
\end{aligned}
$$
当势阱透明时（$T=1$），有：
$$
\begin{aligned}
& \frac{2a}{\hbar}\sqrt{2m(E_n+V_0)}=n\pi, \quad n\in\mathbb{Z} \\
\Rightarrow
& E_n+V_0=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2m(2a)^2}
\end{aligned}
$$
