δ 函数
狄拉克 $\delta$ 函数：
$$
\begin{aligned}
& \delta(x)=
\begin{cases}
0, \quad & x \ne 0 \\
\infty, \quad & x=0
\end{cases} \\
&\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x) dx=1
\end{aligned}
$$
$\delta$ 函数势为：
$$
V(x)=-\alpha\delta(x), \quad \alpha>0
$$
$\delta$ 函数势阱的定态薛定谔方程为：
$$
-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi-\alpha\delta(x)\psi=E\psi
$$
束缚态
当 $E<0$ 时，粒子处于束缚态，即：
$$
\nabla^2\psi=\kappa^2\psi, \quad x\ne 0,\kappa=\frac{\sqrt{-2m E}}{\hbar}
$$
通解为：
$$
\psi(x)=
\begin{cases}
Ae^{-\kappa x}+Be^{\kappa x}, \quad &x<0 \\
Ce^{-\kappa x}+De^{\kappa x}, \quad &x>0
\end{cases}
$$
由 $\psi$ 的连续性以及收敛条件，得：
$$
\psi(x)=
\begin{cases}
Be^{\kappa x}, \quad &x\le 0 \\
Be^{-\kappa x}, \quad &x\ge 0
\end{cases}
$$
对定态薛定谔方程在区间 $[-\varepsilon,\varepsilon]$ 上求积分：
$$
-\frac{\hbar ^2}{2m}\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\nabla^2\psi dx-\alpha \int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\delta(x)\psi dx
=E\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\psi dx
$$
对于前半部分，有：
$$
-\frac{\hbar ^2}{2m}\int _ {-\varepsilon}^{\varepsilon}\nabla^2\psi dx-\alpha \int _ {-\varepsilon}^{\varepsilon}\delta(x)\psi dx
=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla \psi| _ {-\varepsilon}^{\varepsilon}-\alpha\psi(0)
$$
取极限 $\varepsilon \to 0^+$，得：
$$
\begin{aligned}
& \nabla \psi(\varepsilon)-\nabla\psi(-\varepsilon)=-\frac{2m\alpha}{\hbar^2}\psi(0) \\
\Rightarrow
& -2B\kappa=-\frac{2m\alpha}{\hbar^2}\psi(0)=-\frac{2m\alpha}{\hbar^2}B \\
\Rightarrow
& \kappa=\frac{m\alpha}{\hbar^2}=\frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar} \\
\Rightarrow
& E=-\frac{m\alpha^2}{2\hbar^2}
\end{aligned}
$$
对 $\psi$ 归一化得：
$$
\begin{aligned}
1
&=\int _ {-\infty}^{0}\psi^* \psi dx+\int _ {0}^{\infty}\psi^* \psi dx \\
&=\int _ {-\infty}^{0}|B|^2e^{2\kappa x}dx+\int _ {0}^{\infty}|B|^2e^{-2\kappa x}dx \\
&=2|B|^2\int _ {0}^{\infty}e^{-2\kappa x}dx \\
&=2|B|^2 \frac{1}{-2\kappa}e^{-2\kappa x}| _ {0}^{\infty} \\
&=-\frac{|B|^2}{\kappa}(0-1) \\
&=\frac{|B|^2}{\kappa}
\end{aligned}
$$
即：
$$
B=\sqrt{\kappa}=\frac{\sqrt{m\alpha}}{\hbar}
$$
即强度为 $\alpha$ 的 $\delta$ 函数势阱，其束缚态为：
$$
\begin{aligned}
& \psi(x)=\frac{\sqrt{m\alpha}}{\hbar}e^{-m\alpha|x|/\hbar^2} \\
& E=-\frac{m\alpha^2}{2\hbar^2}
\end{aligned}
$$
散射态
当 $E>0$ 时，粒子处于束缚态，即：
$$
\nabla^2\psi=-k^2\psi, \quad x\ne 0,k=\frac{\sqrt{2m E}}{\hbar}
$$
通解为：
$$
\psi(x)=
\begin{cases}
Ae^{ikx}+Be^{-ikx}, \quad &x<0 \\
Ce^{ikx}+De^{-ikx}, \quad &x>0
\end{cases}
$$
由 $\psi$ 在 $x=0$ 处连续，得：
$$
A+B=C+D
$$
对定态薛定谔方程在区间 $[-\varepsilon,\varepsilon]$ 上求积分：
$$
-\frac{\hbar ^2}{2m}\int _ {-\varepsilon}^{\varepsilon}\nabla^2\psi dx-\alpha \int _ {-\varepsilon}^{\varepsilon}\delta(x)\psi dx
=E\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\psi dx
$$
即：
$$
\begin{aligned}
& -\frac{ik\hbar^2}{2m}\left((C-D)-(A-B) \right)=\alpha\psi(0)=\alpha(A+B) \\
\Rightarrow
& ik(C-D-A+B)=-\frac{2m\alpha}{\hbar^2}(A+B) \\
\Rightarrow
& C-D=A(1+2i\beta)-B(1-2i\beta), \quad \beta=\frac{m\alpha}{\hbar^2k}
\end{aligned}
$$
其中 $A,C$ 代表右行波的振幅，$B,D$ 代表左行波的振幅，即：
- $A$ 代表粒子从左侧入射；
- $B$ 代表粒子从左侧离开；
- $C$ 代表粒子从右侧离开；
- $D$ 代表粒子从右侧入射。
对于一维问题，可以指定粒子的入射方向（如从左侧入射），则：
- $A$ 表示入射波振幅；
- $B$ 表示反射波振幅；
- $C$ 表示折射波振幅；
- $D=0$ 表示右侧无粒子入射。
于是有：
$$
\begin{aligned}
& B=\frac{i\beta}{1-i\beta}A \\
& C=\frac{1}{1-i\beta}A
\end{aligned}
$$
反射系数（反射回去的粒子占比）为：
$$
R=\frac{|B|^2}{|A|^2}=\frac{\beta^2}{1+\beta^2}=\frac{1}{1+\frac{2\hbar^2E}{m\alpha^2}}
$$
透射系数为：
$$
T=\frac{|C|^2}{|A|^2}=\frac{1}{1+\beta^2}=\frac{1}{1+\frac{m\alpha^2}{2\hbar^2E}}
$$
可以看到：
$$
R+T=1
$$
同时可以发现：
- 能量越低，粒子被反射回去的概率越高；
- 能量越高，粒子透射过去的概率越高。
δ 函数势垒
$\delta$ 函数势垒的势为：
$$
V(x)=\alpha\delta(x), \quad \alpha>0
$$
$\delta$ 函数势阱的定态薛定谔方程为：
$$
-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi+\alpha\delta(x)\psi=E\psi
$$
此时粒子不存在束缚态，只存在散射态。
由于透射系数：
$$
T=\frac{1}{1+\frac{m\alpha^2}{2\hbar^2 E}} > 0
$$
因此粒子有可能会穿越无限高的势垒，即发生量子隧穿效应；同样的，即使 $E>V_{\max}$，粒子也有概率会被反射回去。
例题
2.27
考虑双 $\delta$ 函数势：
$$
V(x)=-\alpha(\delta(x+a)+\delta(x-a)), \quad a,\alpha>0
$$
- 求存在多少束缚态；
- 当 $\alpha=\hbar^2/(ma)$ 和 $\alpha=\hbar^2/(4ma)$ 时，求出允许的能级；
- 求出透射系数。
