自由粒子的势函数 $V$ 为：
$$
V(x)=0
$$
定态薛定谔方程为：
$$
\begin{aligned}
& -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi=E\psi \\
\Rightarrow
& \nabla^2\psi=-k^2\psi, \quad k=\frac{\sqrt{2m E}}{\hbar} \\
\Rightarrow
& \psi(x)=Ae^{ik x}+Be^{-ikx} \\
\Rightarrow
& \Psi(x,t)=Ae^{ikx-iEt/\hbar}+Be^{-ikx-iEt/\hbar} \\
\Rightarrow
& \Psi(x,t)=A\exp\left(ik\left(x-\frac{\hbar k}{2m}t\right)\right)+B\exp\left(-ik\left(x+\frac{\hbar k}{2m}t\right)\right)
\end{aligned}
$$
关于 $k$ 的波函数为：
$$
\Psi_k(x,t)=A\exp\left(i\left(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t\right)\right)
$$
其中：
$$
k=\pm \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar},
\quad
\begin{cases}
k>0, \quad & \text{向右传播} \\
k<0, \quad & \text{向左传播}
\end{cases}
$$
实际上，$\Psi_k$ 无法归一化，说明：
- 对自由粒子来讲，分离变量解并不代表物理上可实现的态；
- 一个自由粒子不能存在于一个定态；
- 不存在一个自由粒子具有确定能量这样的事情。
考虑如下含时薛定鄂方程的解：
$$
\Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(k)\exp\left(i\left(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t\right)\right)dk
$$
其初值问题的解为：
$$
\begin{aligned}
& \Psi(x,0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(k) e^{ikx}dk \\
& \phi(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\Psi(x,0)e^{-ikx}dx
\end{aligned}
$$
一般形式的波包为：
$$
\Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(k)e^{i(kx-\omega t)}dk, \quad \omega=\frac{\hbar k^2}{2m}
$$
在 $k=k_0$ 处，由色散关系得到近似：
$$
\omega(k) \cong \omega_0+\omega_0’(k-k_0)
$$
于是有：
$$
\Psi(x,t) \cong \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(k_0+s)e^{i((k_0+s)x-(\omega_0+\omega_0’s) t)}ds
$$
即：
$$
\Psi(x,t) \cong \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i(-\omega_0t+k_0\omega_0’t)}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(k_0+s)e^{i(k_0+s)(x-\omega_0’t)}ds
$$
即：
$$
\Psi(x,t) \cong e^{i(-\omega_0+k_0\omega_0’)t}\Psi(x-\omega_0’t,0)
$$
可以看到波包传播的群速度为：
$$
v_{g}=\frac{d \omega}{dk}=\omega_0’
$$
相速度为：
$$
v_p=\frac{\omega}{k}
$$
对于自由粒子的角频率：
$$
\omega=\frac{\hbar k^2}{2m}
$$
于是有：
$$
\begin{aligned}
& v_g=\frac{\hbar k}{m} \\
& v_p=\frac{\hbar k}{2m}
\end{aligned}
$$
自由粒子的波长和动量为：
$$
\begin{aligned}
& \lambda=\frac{2\pi}{k} \\
& p=\hbar k
\end{aligned}
$$
量子速度为：
$$
v_{\text{量子}}=\frac{\hbar k^2}{2m}/k=\frac{\hbar k}{2m}=v_p
$$
经典粒子速度为：
$$
v_{\text{经典}}=\sqrt{\frac{2E}{m}}=\sqrt{\frac{2}{m}\frac{\hbar^2 k^2}{2m}}=\frac{\hbar k}{m}=v_g
$$
