在区间 $[0,a]$ 的自由粒子的势函数为：
$$
V(x)=
\begin{cases}
0, \quad & 0 \le x \le a \\
\infty, \quad & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
当 $x \in [0,a]$ 时，有 $V=0$，定态薛定谔方程为：
$$
-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi=E\psi
$$
即：
$$
\nabla^2\psi=-k^2\psi, \quad k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}
$$
其解为：
$$
\psi(x)=A\sin kx+B\cos kx
$$
由 $\psi(0)=\psi(a)=0$，得：
$$
\begin{aligned}
& \psi(0)=B=0 \\
& \psi(a)=A\sin ka+B\cos ka=0
\end{aligned}
$$
即：
$$
ka=n\pi, \quad n\in\mathbb{Z}
$$
有意义且可区分的解为：
$$
k_ n=\frac{n\pi}{a}, \quad n \in \mathbb{N}^*
$$
能量 $E$ 的取值为：
$$
E_ n=\frac{k_ n^2\hbar^2}{2m}=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}, \quad n \in \mathbb{N}^*
$$
将 $\psi$ 归一化得：
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{|A|^2}
&=\int_ {0}^{a}\sin^2 \frac{n\pi x}{a} dx\\
&=\frac{1}{2}\int_ {0}^{a}\left(1-\cos \frac{2n\pi x}{a}\right) dx, \quad t=\frac{2n \pi x}{a} \\
&=\frac{a}{2}-\frac{a}{4n\pi}\underbrace{\int_ {0}^{2n\pi}\cos t dt}_ {0} \\
&=\frac{a}{2}
\end{aligned}
$$
所以：
$$
A=\sqrt{\frac{2}{a}}
$$
得到阱内的解：
$$
\psi_ n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi x}{a}
$$
可以看到 ${\psi_ n}$ 是归一正交的，即：
$$
\int_ {0}^{a}\psi_ m^* \psi_ ndx=\delta_ {mn}
$$
对于任意实函数 $f(x)$，其在 $[0,a]$ 上的展开为：
$$
\begin{aligned}
& f(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sum_ {n=1}^{\infty}c_ n\sin \frac{n\pi x}{a} \\
& c_ n=\int_ {0}^{a}\psi_ n^* fdx
\end{aligned}
$$
实际上就是：
$$
|f\rangle=\sum_ {n=1}^{\infty}|\psi_ n\rangle\langle\psi_ n|f\rangle
$$
一维无限深方势阱的定态为：
$$
\Psi_ n(x,t)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi x}{a}e^{-in^2\pi^2 \hbar t/(2ma^2)}
$$
总能量的期望为：
$$
\langle H \rangle=\sum_ {n=1}^{\infty} |c_ n|^2E_ n
$$
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