一维往复运动
考虑振子的拉格朗日量：
$$
L=T-V=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-V(x)
$$
由拉格朗日方程得：
$$
\begin{aligned}
& \frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial \dot{x}}L-\nabla L=0 \\
\Rightarrow
& \frac{d}{dt}(m\dot{x})+\nabla V=0 \\
\Rightarrow
& m\ddot{x}=-\nabla V
\end{aligned}
$$
设振子在 $x=0$ 处做近似线性振动，可取势的一阶近似：
$$
\begin{aligned}
& V(x)\cong V_ 0+\nabla V_ 0x+\frac{1}{2}\nabla_ x^2V_ 0x^2, \quad \nabla V_ 0=0 \\
\Rightarrow
& \nabla V (x) \cong \nabla_ x^2 V_ 0x \\
\Rightarrow
& V(x) \cong \frac{1}{2}kx^2
\end{aligned}
$$
即：
$$
\ddot{x}=-\frac{\nabla_ x^2 V_ 0}{m}x=-\frac{k}{m}x, \quad k=\nabla_ x^2V_ 0
$$
可以得到简谐振动的二阶常微分方程形式：
$$
\begin{aligned}
& \ddot{x}+\omega^2x=0, \quad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} \\
\Rightarrow
& x=A\cos(\omega t+\varphi_ 0) \\
\Rightarrow
&\widetilde{x}=Ae^{i(\omega t+\varphi_ 0)}=\underbrace{Ae^{i\varphi_ 0}}_ {\widetilde{A}}e^{i\omega t}=\widetilde{A}e^{i\omega t}
\end{aligned}
$$
谐振子的频率为：
$$
\nu=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}
$$
不同频率 SHM 合成
振幅和初相位相同时：
$$
\begin{aligned}
&\begin{cases}
x_ 1=A\cos(\omega_ 1 t+\varphi) \\
x_ 2=A\cos(\omega_ 2 t+\varphi)
\end{cases} \\
\Rightarrow
& x=x_ 1+x_ 2=2A\cos \left(\frac{\omega_ 2-\omega_ 1}{2}t\right) \cos \left( \frac{\omega_ 2+\omega_ 1}{2}t+\varphi \right)
\end{aligned}
$$
复数表示：
$$
\begin{aligned}
&\begin{cases}
\widetilde{x}_ 1=\widetilde{A}e^{i\omega_ 1 t} \\
\widetilde{x}_ 2=\widetilde{A}e^{i\omega_ 2 t}
\end{cases} \\
\Rightarrow
& \widetilde{x}
=\widetilde{x}_ 1+\widetilde{x}_ 2
=\widetilde{A}
\cos \left(\frac{\omega_ 2-\omega_ 1}{2}t\right)
e^{i\frac{\omega_ 2+\omega_ 1}{2}t}
\end{aligned}
$$
合成的波包拍频为：
$$
f_ {\text{拍}}=|f_ 1-f_ 2|=\frac{|\omega_ 1-\omega_ 2|}{2\pi}
$$
简谐波
波的特征量：
- 波速 $v$，表示振动状态的传播速度；
- 周期 $T$，表示一个完整的波通过波线上某点所需时间（时间周期）；
- 波长 $\lambda$，表示波线上振动状态相同的两相邻质元之间的距离（空间周期）。
因此：
$$
v=\frac{\lambda}{T}
$$
设传播物理量 $u$，则沿 $+x$ 方向传播的行波为：
$$
u=\xi\left(t-\frac{x}{v}\right)
$$
对于简谐波来说，有：
$$
u(x,t)=A\cos \omega \left(t-\frac{x}{v}\right)
$$
可以得到简谐波的相位：
$$
\varphi(x,t)=\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)
$$
考虑 $\varphi(x,t)$ 传播到 $\varphi(x+dx,t+dt)$，即：
$$
\varphi(x+dx,t+dt)
=\omega\left(t+dt-\frac{x+dx}{v}\right)
=\underbrace{\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)}_ {\varphi(x,t)}+\frac{\omega(vdt-dx)}{v}
=\varphi(x,t)
$$
于是有：
$$
v=\frac{dx}{dt}
$$
其中 $v$ 为相位的传播速度，简称相（phase）速：
$$
v_ p=\frac{dx}{dt}
$$
对于简谐波来说，波速就是相速。
波函数可以用复数表示：
$$
\widetilde{u}(x,t)=Ae^{i(\omega t\mp kx+\varphi_ 0)}=\widetilde{A} e^{i(\omega t\mp kx)}
$$
其中波数 $k$ 表示相位随距离的变化率：
$$
k=\frac{\omega}{v}=\frac{2\pi}{\lambda}
$$
相速为：
$$
v_ p=\frac{\omega}{k}
$$
考虑两列等幅、频率与波长相近的右行波构成的波包：
$$
\begin{aligned}
&\begin{cases}
\omega_ 1=\omega+\Delta \omega, &k_ 1=k+\Delta k \\
\omega_ 2=\omega-\Delta \omega, &k_ 2=k-\Delta k
\end{cases} \\
\Rightarrow
&\begin{cases}
u_ 1(x,t)=A\cos \left( (\omega+\Delta \omega)t-(k+\Delta k)x \right) \\
u_ 1(x,t)=A\cos \left( (\omega-\Delta \omega)t-(k-\Delta k)x \right)
\end{cases} \\
\Rightarrow
& u(x,t)=u_ 1(x,t)+u_ 2(x,t)
=2A
\cos \left(\Delta \omega \left(t-\frac{x}{\Delta \omega/\Delta k}\right)\right)
\cos \left(\omega \left( t-\frac{x}{\omega/k} \right) \right)
\end{aligned}
$$
其中 $\frac{2\pi}{\Delta \omega} \gg \frac{2\pi}{\omega}$，因此 $\Delta \omega$ 变化较慢，表示整个波形的变化（群速）；而 $\omega$ 变化较快，表示相位变化（相速），即：
$$
\begin{aligned}
& v_ g=\frac{\Delta \omega}{\Delta k} \cong \frac{d\omega}{dk} \\
& v_ p=\frac{\omega}{k}
\end{aligned}
$$
于是有：
$$
\begin{aligned}
v_ g
&=\frac{d\omega}{dk} \\
&=\frac{d(kv_ p)}{dk} \\
&=v_ p+k\frac{d v_ p}{dk} \\
&=v_ p+k\frac{d v_ p}{d\omega} \frac{d\omega}{dk} \\
&=v_ p+\frac{\omega}{v_ p}\frac{d v_ p}{d\omega}v_ g
\end{aligned}
$$
于是有：
$$
v_ g=\frac{v_ p}{1-\frac{\omega}{v_ p}\frac{d v_ p}{d\omega}}
$$
因此：
$$
\begin{cases}
\frac{d v_ p}{d\omega}=0, & \text{无色散}, & v_ g=v_ p \\
\frac{d v_ p}{d\omega}<0, & \text{正常色散}, & v_ g<v_ p \\
\frac{d v_ p}{d\omega}>0, & \text{反常色散}, & v_ g>v_ p
\end{cases}
$$
