定态薛定谔方程
假设势 $V$ 不依赖时间，并假设波函数 $\Psi$ 可分离变量：
$$
\Psi(x,t)=\psi(x)\varphi(t)
$$
考虑薛定谔方程：
$$
i\hbar \dot{\Psi}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi+V\Psi
$$
展开得：
$$
\begin{aligned}
& i\hbar \psi \dot{\varphi}=-\frac{h^2}{2m}\varphi\nabla^2\psi+V\psi\varphi \\
\Rightarrow
& i\hbar \frac{\dot{\varphi}}{\varphi}=-\frac{h^2}{2m}\frac{\nabla^2 \psi}{\psi}+V=E
\end{aligned}
$$
解得忽略常数项的 $\varphi$ 为：
$$
\varphi(t)=e^{-iEt/\hbar}
$$
同时有定态薛定谔方程：
$$
-\frac{h^2}{2m}\nabla^2\psi+V\psi=E\psi
$$
定态波函数的概率密度为：
$$
|\Psi|^2=\psi^* e^{iEt/\hbar}\psi e^{-iEt/\hbar}=\psi^* \psi=|\psi|^2
$$
于是任意算子的期望只与 $\psi$ 有关，即：
$$
\langle Q \rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^* Q \Psi dx=\int_{-\infty}^{\infty}\psi^* Q\psi dx
$$
同时可以得到：
$$
\begin{aligned}
& \langle x \rangle \equiv \int_{-\infty}^{\infty}x|\psi|^2dx \\
\Rightarrow
& \langle p \rangle=m\frac{d\langle x \rangle}{dt}=0
\end{aligned}
$$
可以看到总能量也是守恒的，其中总能量由哈密顿量表示：
$$
\begin{aligned}
& H(x,p)=\frac{p^2}{2m}+V(x) \\
\Rightarrow
& \hat{H}=\frac{1}{2m}(-i\hbar)^2\nabla^2+V=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V
\end{aligned}
$$
得到定态薛定谔方程的算子形式：
$$
\hat{H}\psi=E\psi
$$
总能量的期望为：
$$
\langle H \rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\psi^* \hat{H}\psi dx=\int_{-\infty}^{\infty}\psi^* E\psi dx=E
$$
同理，有：
$$
\langle H^n \rangle=E^n
$$
因此 $H$ 的标准差为：
$$
\sigma_H=\sqrt{\langle H^2 \rangle-\langle H \rangle^2}=\sqrt{E^2-E^2}=0
$$
因此定态粒子每次测量得到的能量都是确定值 $E$。
考虑 $E$ 的性质，由定态薛定谔方程的性质可知：
$$
\begin{aligned}
& 1=\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^* \Psi dx=\int_{-\infty}^{\infty}\psi^* \psi e^{-iEt/\hbar+iE^* t/\hbar} dx \\
\Rightarrow
& -E+E^* =0 \\
\Rightarrow
& \Im(E)=0 \\
\Rightarrow
& E \in \mathbb{R}
\end{aligned}
$$
所以 $E$ 是实数，因此：
$$
\begin{aligned}
& \hat{H}\psi=E\psi \\
& \hat{H}\psi^* =E\psi^*
\end{aligned}
$$
因此实函数 $\psi^{(1)},\psi^{(2)}$ 都满足能量为 $E$ 的薛定谔方程：
$$
\begin{aligned}
& \psi^{(1)}=\psi+\psi^* \\
& \psi^{(2)}=i(\psi-\psi^* )
\end{aligned}
$$
若 $V(x)$ 为偶函数，则：
$$
\begin{aligned}
& \hat{H}\psi(x)=E\psi(x) \\
& \hat{H}\psi(-x)=E\psi(-x)
\end{aligned}
$$
因此偶/奇函数 $\psi^{(3)},\psi^{(4)}$ 都满足能量为 $E$ 的薛定谔方程：
$$
\begin{aligned}
& \psi^{(3)}(x)=\psi(x)+\psi(-x) \\
& \psi^{(4)}(x)=\psi(x)-\psi(-x)
\end{aligned}
$$
定态薛定谔方程的解若是归一化的，则 $E \ge V_\min$，考虑到：
$$
\nabla^2\psi=\frac{2m}{\hbar^2}(V(x)-E)\psi
$$
若 $E<V_\min$，则有：
$$
\begin{aligned}
& \nabla^2\psi>0, \quad &\psi>0 \\
& \nabla^2\psi<0, \quad &\psi<0
\end{aligned}
$$
即定态薛定谔方程的性质如下：
- 存在归一化解：$E \in \mathbb{R}, E>V_{\min}$
- 定态波函数 $\psi$ 总可以取为实函数；
- 若 $V(x)$ 是偶函数，则 $\psi(x)$ 总可以取为偶函数或奇函数。
含时薛定谔方程
以 ${\Psi_n}$ 为基底，得到 $\Psi$ 的一般表达式：
$$
\Psi(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\psi_n(x)e^{-iE_nt/\hbar}
$$
初值条件：
$$
\Psi(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\psi_n(x)
$$
