若可观测量 $Q$ 在每次测量时，其结果不变，则此时系综的态为可观测量 $Q$ 的定值态，并且 $Q$ 的方差为 $0$，即：
$$
\begin{aligned}
\sigma^2
&=\langle (\hat{Q}-\langle Q \rangle)^2 \rangle \\
&=\langle \Psi | (\hat{Q}-\langle Q \rangle)^2 \Psi \rangle, \quad (\hat{Q}-\langle Q \rangle)^\dagger=\hat{Q}-\langle Q \rangle \\
&=\langle (\hat{Q}-\langle Q \rangle)\Psi|(\hat{Q}-\langle Q \rangle)\Psi \rangle \\
&=0
\end{aligned}
$$
于是有：
$$
\begin{aligned}
& (\hat{Q}-\langle Q \rangle)\Psi=0 \\
\Rightarrow
& \hat{Q}\Psi=\langle Q \rangle \Psi
\end{aligned}
$$
总能量的定值态是算符 $\hat{H}$ 的本征函数，即定态薛定谔方程：
$$
\hat{H}\psi=E\psi, \quad E=\langle H \rangle
$$
分立谱往往对应着可归一化的波函数，连续谱对应着不可归一化的波函数，下面分别考虑分立谱和连续谱的性质。
分立谱
Hermition 算符可归一化的本征函数（定值态）有性质：
（1）本征值是实数。
$$
\begin{aligned}
&\begin{cases}
\hat{Q} f=qf \\
\langle f|\hat{Q}f \rangle=\langle\hat{Q}f|f\rangle
\end{cases} \\
\Rightarrow
& \langle f|\hat{Q}f \rangle
=\langle f| q f \rangle
=q\langle f|f \rangle
=\langle\hat{Q}f|f\rangle
=\langle q f|f\rangle
=q^* \langle f|f\rangle \\
\Rightarrow
&q=q^* \\
\Rightarrow
& q\in\mathbb{R}
\end{aligned}
$$
（2）属于不同本征值的本征函数是正交的。
$$
\begin{aligned}
&\begin{cases}
\hat{Q} f=q_1f \\
\hat{Q} g=q_2g
\end{cases} \\
\Rightarrow
& \langle f|\hat{Q} g\rangle=\langle \hat{Q} f|g\rangle \\
\Rightarrow
& \langle f|q_2 g\rangle=\langle q_1 f|g\rangle, \quad q_1 \in \mathbb{R} \\
\Rightarrow
& q_2\langle f|g\rangle=q_1\langle f|g\rangle, \quad q_1 \ne q_2 \\
\Rightarrow
& \langle f|g\rangle=0
\end{aligned}
$$
可以看到，不同能量的定态薛定谔方程的解是相互正交的。
（3）可观测量算符的本征函数是完备的，Hilbert 空间中的任何函数都可以用它们的线性迭加来表达。
连续谱
考虑动量算符 $\hat{p}$ 的本征值 $p$ 和本征函数 $f_p$，即：
$$
\begin{aligned}
& -i\hbar \nabla f_p(x)=pf_p(x) \\
\Rightarrow
& f_p(x)=Ae^{\frac{ipx}{\hbar}}
\end{aligned}
$$
若 $p \in \mathbb{C}/\mathbb{R}$，则 $f_p \not\in L^2$，因此只能限定 $p\in \mathbb{R}$，此时对于特征值 $p_1,p_2$，有：
$$
\begin{aligned}
\langle f_1|f_2 \rangle
&=\int_{-\infty}^{\infty} A^* e^{-ip_1x/\hbar}Ae^{ip_2x/\hbar}dx \\
&=|A|^2\int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(\frac{i(p_2-p_1)x}{\hbar}\right) dx \\
&=|A|^2 2\pi\hbar \delta(p_2-p_1) \\
&=\delta(p_2-p_1)
\end{aligned}
$$
可得：
$$
\begin{aligned}
& A=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \\
& f_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}e^{\frac{ipx}{\hbar}}
\end{aligned}
$$
即：
$$
\begin{aligned}
& f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}c(p)e^{\frac{ipx}{\hbar}}dp \\
& \langle f_{p’}|f \rangle=\int_{-\infty}^{\infty}c(p)\langle f_{p’}|f_p \rangle dp=\int_{-\infty}^{\infty} c(p)\delta(p-p’)dp=c(p’)
\end{aligned}
$$
对于坐标算符 $\hat{x}$，设其本征函数为 $g_y(x)$，特征值 $y$，则：
$$
xg_y(x)=yg_y(x) \Rightarrow g_y(x)=A\delta(x-y)
$$
本征函数平方不可积，但可正交归一化：
$$
\begin{aligned}
\langle g_1|g_2 \rangle
&=\int_{-\infty}^{\infty} A^* \delta(x-y_1)A\delta(x-y_2)dx \\
&=|A|^2\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-y_1)\delta(x-y_2) dx \\
&=|A|^2 \delta(y_1-y_2) \\
&=\delta(y_2-y_1)
\end{aligned}
$$
可得：
$$
\begin{aligned}
& A=1 \\
& g_y(x)=\delta(x-y)
\end{aligned}
$$
即：
$$
g(x)=\int_{-\infty}^{\infty}c(y)\delta(x-y)dy=c(x)
$$
