量子物理笔记 - 11：可观测量与算符

可观测量

可观测量 $Q(x,p)$ 的期望（要求为实数）为：
$$\begin{array}{rl}& ⟨Q⟩=\int {\psi }^{\ast }\hat{Q}\psi dx=⟨\psi |\hat{Q}\psi ⟩\in \mathbb{R}\\ \Rightarrow & ⟨Q⟩=⟨Q{⟩}^{\ast }\\ \Rightarrow & ⟨\psi |\hat{Q}\psi ⟩=⟨\hat{Q}\psi |\psi ⟩\end{array}$$
可以看到，可观测量的算符有一些特殊性质（Hermite 共轭），即：
$$\hat{Q}={\hat{Q}}^{†}$$

动量算符

动量算符为：
$$\hat{p}=-i\hslash \mathrm{\nabla }$$
考虑 $f,g\in L^2$，内积为：
$$\begin{array}{rl}⟨f|\hat{p}g⟩& =-i\hslash {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}^{\ast }\mathrm{\nabla }gdx\\ & =-i\hslash (\underset{0}{\underbrace{(f^{\ast }g){|}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}}}-{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g\mathrm{\nabla }{f}^{\ast }dx)\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}i\hslash \mathrm{\nabla }{f}^{\ast }gdx\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-i\hslash \mathrm{\nabla }f{)}^{\ast }gdx\\ & =⟨\hat{p}f|g⟩\end{array}$$
即动量算符是 Hermite 共轭的。

Hermite 共轭

实际上，若对于任意 $h\in L^2$，都有：
$$⟨h|\hat{Q}h⟩=⟨\hat{Q}h|h⟩$$
则算符 $\hat{Q}$ 对任意 $f,g\in L^2$ 都是 Hermite 共轭的。

考虑构造 $h=f+cg$，则：
$$\begin{array}{rl}⟨h|\hat{Q}h⟩& =⟨f+cg|\hat{Q}f+c\hat{Q}g⟩\\ & =⟨f|\hat{Q}f⟩+c^{\ast }⟨g|\hat{Q}f⟩+c⟨f|\hat{Q}g⟩+c^{\ast }c⟨g|\hat{Q}g⟩,c^{\ast }c=|c{|}^2\\ & =⟨\hat{Q}h|h⟩\\ & =⟨\hat{Q}f+c\hat{Q}g|f+cg⟩\\ & =⟨\hat{Q}f|f⟩+c^{\ast }⟨\hat{Q}g|f⟩+c⟨\hat{Q}f|g⟩+c^{\ast }c⟨\hat{Q}g|g⟩,c^{\ast }c=|c{|}^2\\ & =⟨f|\hat{Q}f⟩+c^{\ast }⟨\hat{Q}g|f⟩+c⟨\hat{Q}f|g⟩+c^{\ast }c⟨g|\hat{Q}g⟩\end{array}$$
分别取 $c=1,i$，得：
$$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{ll}⟨f|\hat{Q}g⟩+⟨g|\hat{Q}f⟩=⟨\hat{Q}f|g⟩+⟨\hat{Q}g|f⟩,& c=1\\ ⟨f|\hat{Q}g⟩-⟨g|\hat{Q}f⟩=⟨\hat{Q}f|g⟩-⟨\hat{Q}g|f⟩,& c=i\end{array}\\ \Rightarrow & ⟨f|\hat{Q}g⟩=⟨\hat{Q}f|g⟩\end{array}$$

算符

算符 $\hat{Q}$ 的伴随算符是 ${\hat{Q}}^{†}$，即：
$$⟨f|\hat{Q}g⟩=⟨{\hat{Q}}^{†}f|g⟩$$
Hermite 算符是自伴算符，即：
$$\hat{Q}={\hat{Q}}^{†}$$
考虑算符乘积的伴随，即：
$$\begin{array}{rl}⟨f|\hat{Q}\hat{R}g⟩& =⟨{\hat{Q}}^{†}f|\hat{R}g⟩\\ & =⟨{\hat{R}}^{†}{\hat{Q}}^{†}f|g⟩\\ & =⟨(\hat{Q}\hat{R}{)}^{†}f|g⟩\end{array}$$
即：
$$(\hat{Q}\hat{R}{)}^{†}={\hat{R}}^{†}{\hat{Q}}^{†}$$
进一步的，若 $\hat{Q}\hat{R}$ 是 Hermition 的，则：
$$\begin{array}{rl}& \hat{Q}\hat{R}={\hat{R}}^{†}{\hat{Q}}^{†}=\hat{R}\hat{Q}\\ \Rightarrow & [\hat{Q},\hat{R}]=0\end{array}$$
即 $\hat{Q},\hat{R}$ 是对易的。

一些常见的伴随算符：
$$\begin{array}{rl}& (f(x){)}^{†}=f^{\ast }(x)\\ & {\left(\frac{d}{dx}\right)}^{†}=-\frac{d}{dx}\\ & a_{+}^{†}=a_{-}\end{array}$$

反厄密算符等于它的负的厄密共轭：
$${\hat{Q}}^{†}=-\hat{Q}$$
（1）反厄密算符的期望值是虚数。
$$\begin{array}{rl}⟨Q⟩& =⟨\psi |\hat{Q}\psi ⟩\\ & =⟨{\hat{Q}}^{†}\psi |\psi ⟩\\ & =-⟨\hat{Q}\psi |\psi ⟩\\ & =-(⟨\psi |\hat{Q}\psi ⟩{)}^{\ast }\\ & =-(⟨Q⟩{)}^{\ast }\end{array}$$
因此：
$$\mathrm{Re}(⟨Q⟩)=\frac{1}{2}\mathrm{Re}(⟨Q⟩+⟨Q{⟩}^{\ast })=0$$
所以 $⟨Q⟩$ 是虚数。

（2）两个厄密算符的对易子是反厄密的。
$$\begin{array}{rl}{[\hat{P},\hat{Q}]}^{†}& =(\hat{P}\hat{Q}{)}^{†}-(\hat{Q}\hat{P}{)}^{†}\\ & ={\hat{Q}}^{†}{\hat{P}}^{†}-{\hat{P}}^{†}{\hat{Q}}^{†}\\ & =\hat{Q}\hat{P}-\hat{P}\hat{Q}\\ & =-[\hat{P},\hat{Q}]\end{array}$$
因此厄米算符的对易子是虚数。

（3）两个反厄密算符的对易子是反厄密的。
$$\begin{array}{rl}{[\hat{P},\hat{Q}]}^{†}& =(\hat{P}\hat{Q}{)}^{†}-(\hat{Q}\hat{P}{)}^{†}\\ & ={\hat{Q}}^{†}{\hat{P}}^{†}-{\hat{P}}^{†}{\hat{Q}}^{†}\\ & =(-\hat{Q})(-\hat{P})-(-\hat{P})(-\hat{Q})\\ & =-[\hat{P},\hat{Q}]\end{array}$$
因此反厄米算符的对易子是虚数。