Hilbert 空间
在 $\mathbb{C}^{n}$ 空间上，可以定义向量为：
$$
|\alpha\rangle \to \textbf{a}=\begin{bmatrix}
a_ 1 \\
a_ 2 \\
\vdots \\
a_ n
\end{bmatrix}, \quad a_ k \in \mathbb{C}
$$
同理，共轭向量与内积定义为：
$$
\begin{aligned}
& \langle \beta |=(|\beta \rangle )^* \\
& \langle \beta | \alpha \rangle=\sum_ {k=1}^{n}\beta_ k^* \alpha_ k
\end{aligned}
$$
考虑定义在 $[a,b]$ 上满足平方可积的函数族 $L^2[a,b]$，即：
$$
L^2[a,b]=\left\{f \bigg|\int_ a^b |f(x)|^2 dx=C \in \mathbb{R}\right\}
$$
定义 $f,g \in L^2[a,b]$ 的内积为：
$$
\langle f|g\rangle=\int_ a^b f^* (x)g(x)dx
$$
由 Schwarz 不等式可知：
$$
\left| \int_ {a}^b f^* (x)g(x)dx \right| \le \sqrt{\int_ a^b|f(x)|^2dx\int_ a^b|g(x)|^2dx}
$$
即内积 $\langle f|g\rangle$ 存在，或者等价的来说：
$$
|\langle f|g \rangle|^2 \le\langle f | f \rangle \langle g|g\rangle
$$
若 ${f_ n}$ 是正交归一向量组，则：
$$
\langle f_ n|f_ m\rangle=\delta_ {nm}
$$
于是对于完备的向量组，有：
$$
\begin{aligned}
& f(x)=\sum_ {n=1}^{\infty}c_ nf_ n(x), \quad c_ n=\langle f_ n|f \rangle \\
& |f\rangle=\sum_ {n=1}^{\infty}|f_ n\rangle \langle f_ n|f\rangle
\end{aligned}
$$
Dirac 符号
波函数 $\Psi(x,t)$ 是 Hilbert 空间上的 $|\Im(t) \rangle$ 向量用坐标表示的本征函数的展开系数，即：
$$
\Psi(x,t)=\langle g_ y|\Im(t) \rangle
$$
在动量空间中的表述是：
$$
\Phi(p,t)=\langle f_ p| \Im(t) \rangle
$$
用能量本征函数展开为：
$$
c_ n(t)=\langle \psi_ n|\Im(t) \rangle
$$
为了简便起见，分别记作：
$$
\begin{aligned}
& \Psi(x,t)=\langle x|\Im(t) \rangle \\
& \Phi(p,t)=\langle p|\Im(t) \rangle \\
& c_ n(t)=\langle n | \Im(t) \rangle
\end{aligned}
$$
可观测量的算符是线性变换，即：
$$
|\beta\rangle=\hat{Q}|\alpha\rangle
$$
于是有：
$$
\newcommand\bra[1]{\langle #1 |}
\newcommand\ket[1]{| #1 \rangle}
\bra{e_ m}\hat{Q}\ket{e_ n}=Q_ {mn}
$$
向量可以由一组完备的基底表示，即：
$$
\ket{\alpha}=\sum_ {n} \ket{e_ n} \bra{e_ n}\ket{\alpha}
$$
于是有：
$$
\begin{aligned}
& |\beta\rangle=\hat{Q}|\alpha\rangle \\
\Rightarrow
& \sum_ {n} \ket{e_ n} \bra{e_ n}\ket{\beta}=\sum_ {n}\hat{Q} \ket{e_ n} \bra{e_ n}\ket{\alpha} \\
\Rightarrow
& \sum_ {n} \bra{e_ m}\ket{e_ n} \bra{e_ n}\ket{\beta}=\sum_ {n}\bra{e_ m}\hat{Q}\ket{e_ n}\bra{e_ n}\ket{\alpha} \\
\Rightarrow
& \sum_ {n} \bra{e_ m}\ket{e_ n} \bra{e_ n}\ket{\beta}=\sum_ {n}Q_ {mn}\bra{e_ n}\ket{\alpha}
\end{aligned}
$$
若 ${e_ n}$ 是正交的，则：
$$
\bra{e_ m}\ket{\beta}=\sum_ {n}Q_ {mn} \bra{e_ n}\ket{\alpha}
$$
薛定谔方程可以表示为：
$$
i\hbar \frac{d}{dt}\ket{\Im(t)}=H\ket{\Im(t)}
$$
定态薛定谔方程为：
$$
H\ket{\Im}=E\ket{\Im}
$$
