行列式

长度?面积?体积?

在 $\mathbb{R}$ 中,可以通过比较长度来对比两条线段的“大小”

在 $\mathbb{R}^2$ 中,可以通过比较面积来对比两个矩形的“大小”

在 $\mathbb{R}^3$ 中,可以通过比较体积来对比两个长方体的“大小”

自然而然地,引入一个函数来表达 $\mathbb{R}^n$ 中的 $n$ 维超立方体的“大小”是很有必要的

不妨考虑一下 $\mathbb{R}^2$ 中面积(这里以由 $\vec{a}_1,\vec{a}_2$ 构成的平行四边形为例)的性质(记 $S=\delta(\vec{a}_1,\vec{a}_2)$):

  • 邻边共线则面积为 $0$
    • 如果 $\vec{a}_1,\vec{a}_2$ 平行(也就是共线),那么构成的平行四边形面积为 $0$
  • 一条边的边长变为原来的 $k$ 倍,则面积变为原来的 $k$ 倍
    • 也就是 $S’=\delta(\vec{a}_1,k\vec{a}_2)=kS=k\delta(\vec{a}_1,\vec{a}_2)$
    • 实际上就是 $S=w \times h$,然后 $h \to kh$,所以 $S \to kS$
  • 两个图形的面积和为各自面积和的和(*这里说法有点不太准确)
    • 也就是 $\delta(\vec{a}_1,\vec{a}_2+\vec{a}_3)=\delta(\vec{a}_1,\vec{a}_2)+\delta(\vec{a}_1,\vec{a}_3)$
  • 单位正方形的面积为 $1$
    • 实际上是初始条件: $\delta(\vec{e}_1,\vec{e}_2)=1$

现在来回顾一下这几条性质

第一条意味着,这里的面积的定义是有向面积

  • 面积 $S>0$ 的时候,$\vec{a}_2$ 在 $\vec{a}_1$ 的左侧 $180^\circ$ 内

  • 考虑:$0=\delta(\vec{a}_1+\vec{a}_2,\vec{a}_1+\vec{a}_2)=\delta(\vec{a}_1,\vec{a}_1)+\delta(\vec{a}_1,\vec{a}_2)+\delta(\vec{a}_2,\vec{a_1})+\delta(\vec{a}_2,\vec{a}_2)=\delta(\vec{a}_1,\vec{a}_2)+\delta(\vec{a}_2,\vec{a}_1)$

  • 也就是 $\delta(\vec{a}_1,\vec{a}_2)=-\delta(\vec{a}_2,\vec{a}_1)$

第二、三条意味着“有向面积”满足列多线性性“

  • 也就是 $\delta(p\vec{a}_1+q\vec{a}_2,\vec{a}_3)=\delta(p\vec{a}_1,\vec{a}_3)+\delta(q\vec{a}_2,\vec{a}_3)=p\delta(\vec{a}_1,\vec{a}_3)+q\delta(\vec{a}_2,\vec{a}_3)$
  • 也就是说,可以把向量 $\vec{a}$ 分解成 $\vec{a_1}+\vec{a}_2$,然后把括号内的加号提出到括号外
  • 或者把 $k\vec{a}$ 的系数 $k$ 提出到括号外

第四条就是定义了”递归边界“

  • 因为对于任意一个向量 $\vec{a}$ 可以用 $\mathbb{R}^n$ 的一组基 $\vec{e}_k$ 唯一分解
  • $\delta(\vec{a},\vec{a}’)=\delta(k_1\vec{e}_1+k_2\vec{e}_2,\vec{a}’)=k_1\delta(\vec{e}_1,\vec{a}’)+k_2\delta(\vec{e}_2,\vec{a}’)$

有向面积?行列式函数!

那么将”有向面积“推广到 $\mathbb{R}^n$,就得到了行列式函数 $\delta : \mathbb{R}^{n \times n} \mapsto \mathbb{R}$

不妨用 $\det(A)$ 表示 $\delta(\vec{a}_1,\cdots,\vec{a}_n)$

可以证明,满足以下条件的行列式函数唯一:

  • 列多线性性
    • $\delta(\cdots,p\vec{a}_i+q\vec{a}_j,\cdots)=p\delta(\cdots,\vec{a}_i,\cdots)+q\delta(\cdots,\vec{a}_j,\cdots)$
    • $\det(AE_{ii;k})=k\det (A)$
    • $\det(AE_{ji;k})=\det(A)$
  • 列反对称性(等价于共线为 $0$)
    • $\delta(\cdots,\vec{a}_i,\cdots,\vec{a}_j,\cdots)=-\delta(\cdots,\vec{a}_j,\cdots,\vec{a}_i,\cdots)$
    • $\det(AP_{ij})=-\det(A)$
  • 单位化条件
    • $\delta(I_n)=1$

实际上,对于初等矩阵有:

  • $\det(P_{ij})=-1$
  • $\det(E_{ii;k})=k$
  • $\det(E_{ji;k})=1$

因此,如果 $\mathrm{rank}(A) < n$,则 $\det(A)=0$

如果 $\mathrm{rank}(A)=n$,则 $A$ 可以分解成若干初等矩阵的乘积,即 $A=\prod_{k} E_k$

所以 $\det(A)=\det(\prod_{k}E_k)=\prod_k \det(E_k)$

所以 $\det(AB)=\det(A)\det(B)=\det(BA)$

以及 $\det(A^T)=\det(\prod^kE_{k}^T)=\prod^k\det(E_k^T)=\prod_{k}\det(E_k)=\det(A)$

行列式的展开式

有空再写

行列式的完全展开:$\det(A)=\sum_{\sigma} \mathrm{sign}(\sigma) \prod_{k}a_{\sigma_kk}$