斜率方程

朴素直线与椭圆联立

$$
\begin{equation}
\begin{cases}
y=kx+m \\
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
\end{cases}
\end{equation}
\Rightarrow
(b^2+a^2k^2)x^2+2a^2kmx+a^2m^2-a^2b^2=0
$$

平移坐标系下的斜率方程

设不过点 $O(x_0,y_0)$ 的直线 $l:m(x-x_0)+n(y-y_0)=1$ 于椭圆 $\Gamma: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 交于 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 两点,则 $k_{OA},k_{OB}$ 是某二次方程的两个根

$$
\begin{equation}
\begin{cases}
m(x-x_0)+n(y-y_0)=1 \\
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \\
k=\frac{y-y_0}{x-x_0}
\end{cases}
\end{equation} \\
\Rightarrow
\frac{1+2y_0n}{b^2}k^2+(\frac{2x_0n}{a^2}+\frac{2y_0m}{b^2})k+\frac{1+2x_0m}{a^2}=(1-\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2})(m^2+n^2k^2+2mnk)
$$

特殊的,如果 $O(0,0)$,则原方程可特殊化为:
$$
\begin{equation}
\begin{cases}
mx+ny=1 \\
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \\
k=\frac{y}{x}
\end{cases}
\end{equation}
\Rightarrow
\frac{1}{b^2}k^2+\frac{1}{a^2}=m^2+n^2k^2+2mnk
$$

考虑椭圆 $\Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$,在平面内有一点 $P(x_0,y_0)$,同时设直线 $l:m(x-x_0)+n(y-y_0)=1$ 与 $\Gamma$ 相交于点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$

联立 $\Gamma,l$ 可得:
$$
\frac{1+2y_0n}{b^2}k^2+\left(\frac{2x_0n}{a^2}+\frac{2y_0m}{b^2}\right)k+\frac{1+2x_0m}{a^2}=\left(1-\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}\right)\left(m^2+n^2k^2+2mnk\right)
$$
其中 $k=\frac{y-y_0}{x-x_0}$

下面考虑 $P$ 在 $\Gamma$ 上的情况

斜率之和为定值

$$
\begin{aligned}
&k_1+k_2=\lambda \\
&-\frac{\frac{2x_0n}{a^2}+\frac{2y_0m}{b^2}}{\frac{1+2y_0n}{b^2}}=\lambda \\
&\frac{2x_0n}{a^2}+\frac{2y_0m}{b^2}+\lambda\frac{1+2y_0n}{b^2}=0 \\
&m=-\left(\frac{2x_0n}{a^2}+\lambda\frac{1+2y_0n}{b^2}\right) \frac{b^2}{ 2 y _ 0} \\
&m=-n\left(\lambda+\frac{b^2x_0}{a^2y_0}\right)-\frac{\lambda}{ 2 y _ 0} \\
&l:\left[-n\left(\lambda+\frac{b^2x_0}{a^2y_0}\right)-\frac{\lambda}{ 2 y _ 0}\right](x-x _ 0)+n(y-y_0)=1 \\
&l:n\left[\left(\lambda+\frac{b^2x_0}{a^2y_0}\right)(x_0-x)+(y-y_0)\right]+\frac{\lambda}{ 2 y _ 0}(x _ 0-x)=1
\end{aligned}
$$

故过定点 $\left(x_0-y_0\cdot\frac{2}{\lambda},y_0-y_0\cdot\frac{2}{\lambda}\right)$

特别的,当 $\lambda=0$ 时,有 $l:n\left[\frac{b^2x_0}{a^2y_0}(x_0-x)+(y-y_0)\right]=1,k_l=\frac{b^2x_0}{a^2y_0}$

斜率之积是定值

斜率之比是定值